有序清单里某个数值可能出现不止一次。找到任意一个匹配位置还不足以确定全部结果，分别找第一个不小于目标与第一个大于目标的位置，才能得到完整半开区间。

规则与边界

数组从小到大排列，搜索范围用左闭右开的区间表示。下界搜索遇到中点值小于目标就移动左边界，否则移动右边界；上界搜索把前一条比较改成小于等于。每次中点取两边界之和除以二向下取整。

本例记录

排序后数组为[1, 1, 1, 1, 4, 7, 7, 7, 9, 10, 14, 14, 15, 18, 18, 20, 23, 23, 23, 24, 25, 26, 27, 27]，长度24。下列每步记录左边界、右边界、中点和中点值。

目标-1：下界过程[[0, 24, 12, 15], [0, 12, 6, 7], [0, 6, 3, 1], [0, 3, 1, 1], [0, 1, 0, 1]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [0, 12, 6, 7], [0, 6, 3, 1], [0, 3, 1, 1], [0, 1, 0, 1]]；匹配区间[0,0)，数量0。 目标31：下界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [22, 24, 23, 27]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [22, 24, 23, 27]]；匹配区间[24,24)，数量0。 目标24：下界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [19, 21, 20, 25], [19, 20, 19, 24]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [19, 21, 20, 25], [19, 20, 19, 24]]；匹配区间[19,20)，数量1。 目标25：下界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [19, 21, 20, 25], [19, 20, 19, 24]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [19, 21, 20, 25]]；匹配区间[20,21)，数量1。 目标4：下界过程[[0, 24, 12, 15], [0, 12, 6, 7], [0, 6, 3, 1], [4, 6, 5, 7], [4, 5, 4, 4]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [0, 12, 6, 7], [0, 6, 3, 1], [4, 6, 5, 7], [4, 5, 4, 4]]；匹配区间[4,5)，数量1。 目标18：下界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [13, 18, 15, 20], [13, 15, 14, 18], [13, 14, 13, 18]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [13, 18, 15, 20], [13, 15, 14, 18]]；匹配区间[13,15)，数量2。 目标3：下界过程[[0, 24, 12, 15], [0, 12, 6, 7], [0, 6, 3, 1], [4, 6, 5, 7], [4, 5, 4, 4]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [0, 12, 6, 7], [0, 6, 3, 1], [4, 6, 5, 7], [4, 5, 4, 4]]；匹配区间[4,4)，数量0。 目标26：下界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [19, 21, 20, 25]]；上界过程[[0, 24, 12, 15], [13, 24, 18, 23], [19, 24, 21, 26], [22, 24, 23, 27], [22, 23, 22, 27]]；匹配区间[21,22)，数量1。

表中编号只标记本例对象，不表示排名或另一组数据中的身份。先确认输入单位与边界约定，再逐步核对中间值。零、空结果和不存在是不同状态，不能因为显示相近就互相替代；分数用精确形式保留，便于重新演算。

复核方法

两个搜索结束时左右边界重合。匹配元素位于下界至上界之前，数量为两者之差；数量为零说明目标不存在，不能把返回的插入位置直接拿来读取元素。目标大于所有元素时，边界可以等于数组长度。

用线性扫描独立核对结果：下界前的值都小于目标，上界后的值都大于目标，中间则全相等。练习时加入低于最小值、高于最大值和只出现一次的目标，确认边界处也能结束，避免在空区间反复取同一个中点。

能说明什么

二分搜索依赖整个数组按同一比较规则排序。中途修改数组或使用不一致的比较器，会破坏前提。这里比较普通整数，不涉及模糊匹配、大小写转换或显示文字与实际排序值不同的情况。

这份记录用于理解明确规则下的游戏机制。改变输入后，结果也应随之重新计算；若操作规则不同，应先把新规则写清再比较。可以从一两个步骤手算开始，找出第一处差异，而不是只对照最后一个数值。全部中间记录都属于当前案例，不能直接当成其他场景的固定答案。